Matemáticas en la cocina de Elena

Estaba esta noche mirando Facebook cuando vi una foto muy curiosa... mi amiga Elena se quejaba de que, después de un lunes digno de "Stormy Monday" llegó a casa, fue a la cocina... y hale, todas las pajitas de la caja desparramadas por el suelo! Para desahogarse tomó una foto de las malditas, tal cual ésta... (Elena, no te he pedido permiso, espero que no te importe... sólo se te ven los pies, y no voy a decir donde vives ni donde trabajas... aunque lo sé!)

El desastre en la cocina de Elena...
Ante tamaño desastre, Elena sugería jugar al Mikado... pero uno es matemático en el fondo de su corazoncito, no lo puedo evitar, así que a mí esto me recordó inmediatamente al problema de las agujas de Buffon.



Buffon, aparte de un gran portero de fútbol, fue un "naturalista, botánico, matemático, biólogo, cosmólogo y escritor francés" de nombre completo Georges Louis Leclerc, conde de Buffon (1707-1788), como sabiamente nos cuenta la Wikipedia. Como podéis deducir de su nombre, de la época, y de sus saberes, era un enciclopedista, un ilustrado, un sabio de aquélla época que nuestro país decidió ignorar por completo—y así nos va aún hoy.

Buffon se planteó y resolvió un problema aparentemente sencillo, pero que tiene cierta enjundia: dado un plano en el que se trazan líneas paralelas separadas por una distancia D, cuál es la probabilidad de que al lanzar una aguja de longitud d, ésta corte alguna de las líneas paralelas?

Seguro que empezáis a ver el problema como un paralelo a la situación de la cocina de Elena... si las pajitas tienen longitud d, y los azulejos del suelo tienen lado D, cuál es la probabilidad de que una pajita cualquiera "pase" por encima de una línea horizontal o vertical de las que separan los azulejos?

O, visto aún de otra manera... si a la pobre Elena se le han caído en total N pajitas, cuántas de ellas pasarán por una de esas líneas? Aquí alguno recordará la probabilidad básica que aprendió, y recordará que si la probabilidad es p (un número entre 0 y 1), y el número de casos posibles es N, podemos esperar que el número de casos favorables sea precisamente n = N p. Es decir, será todos los N si la probabilidad es exactamente p=1, o absolutamente ninguno si la probabilidad es p=0, y todos los casos intermedios que podamos imaginar.

La solución matemática del problema está explicada adecuadamente en la Wikipedia, y en muchas otras páginas. Si suponemos por simplicidad, y además porque es exactamente el caso que nos ocupa, que las pajitas son más cortas que el lado del azulejo, podemos acercarnos a una forma de pensar en la solución. Consideremos el punto medio de la pajita, que estará a una distancia de la raya más cercana que es un valor tomado de entre 0 y D/2 con una distribución de probabilidad uniforme. Una vez fijado ese punto medio, el que la pajita corte o no la raya depende de su longitud comparada con la distancia entre rayas (el cociente d/D) y del ángulo que forme la pajita y la propia raya. Si son paralelas no se cortará nunca, claro, por más larga que sea la pajita. Si son perpendiculares, dependerá exclusivamente del valor de d/D. Y en casos intermedios, dependerá además del ángulo exacto ß que formen las dos líneas.

Aquí viene la magia de las matemáticas, en la que no voy a entrar, y nos permite hacer un promedio de todos los ángulos y todas las posiciones posibles, y nos dice que la probabilidad de que una pajita corte una de las líneas paralelas es precisamente p = (d/D) (2/π). Es decir, depende exclusivamente (como era de esperar!) de las dos longitudes. Y aparece el mágico número π (sí, ese igual a 3.1415926... y que tanto juego puede dar), lo que no es sorprendente cuando un problema matemático implica promediar entre valores de ángulos, áreas de círculos, volúmenes de esferas, ...

Por todo esto, recopilando: si se nos caen N pajitas al suelo, cada una de longitud d, y en el suelo hay rayas paralelas separadas una distancia D, esperamos que aproximadamente (2N/π) (d/D) pajitas pasen por encima de una de las rayas. Hale. Hasta aquí, me temo, nada demasiado interesante (no oigo los aplausos desde casa... bueno, es que no he publicado esto aún, claro...)



Ahora, echad una mirada a esta otra versión de la foto de la cocina de Elena...

El desastre, pero con colorines!

La gracia es que tenemos dos experimentos al precio de uno. Podemos contar todas las pajitas del suelo (me salen 92, las marqué con puntitos rojos para no liarme—seguro que Elena las contó una a una al recogerlas!). Y podemos contar cuántas de ellas "cortan" las líneas horizontales azules, o cuántas de ellas "cortan" las líneas verticales verdes. A mí me salen que 45 cortan las horizontales y 37 cortan las verticales... es cierto que hay que echarle un poco de imaginación, no se ve clarísimo, pero total, la estadística tiene sus propios errores, así que...

Bueno, pero me falta saber la longitud de una pajita, d, y la longitud del lado de un azulejo, D. En realidad, viendo la foto es imposible saberlo, porque no tenemos una escala que permita poner todo en relación con ella... pero, afortunadamente, el problema sólo depende del cociente entre ambas longitudes, y este sí que lo podemos calcular. Fijaos en la pajita más cercana al pie de Elena. He remarcado su longitud con un segmento de color naranja, y he marcado en amarillo la diagonal de un azulejo. ¿Por qué la diagonal? Simplemente porque está muy cerca de la propia pajita, y así elimino los efectos de perspectiva que me pueden engañar haciendo que longitudes que son iguales parezcan muy diferentes.

Usando una herramienta gráfica me sale que la pajita mide en la foto original 291 pixels de largo, mientras que la diagonal del azulejo mide 613. Y como sabemos todos que la diagonal de un cuadrado es √2 veces el lado, el cociente (d/D) es precisamente 0,6713.

Todo esto es estupendísimo, pero seguimos sin decir nada interesante. A ver... tenemos una fórmula para calcular el número de pajitas que cortan las rayas (que hemos contado) si sabemos el número de  pajitas que se han caído (que hemos contado) y conocemos el cociente entre las longitudes implicadas (que hemos medido). 

Entonces... si sabemos ya todos los números, entonces ¿Qué narices estamos haciendo? ¿Para qué tanta fórmula? ¿Por qué llevas todo este rato dando la brasa con Buffon y las pajitas y la pobre Elena? 

Pues precisamente porque en este experimento podemos medir (o contar, o calcular) absolutamente todos los números que aparecen en la fórmula, resulta entonces que lo que nos da es... un método estupendo, muy barato, y sobre todo, muy curioso para calcular el valor de π!!




Acordaos de la fórmula a la que llegábamos arriba con un poco de magia: p = (d/D) (2/π). Sabiendo lo que sabemos de probabilidad, y recordando que N es el número de pajitas caídas, y n el número de ellas que cortan una línea del suelo, entonces (n/N) = (d/D) (2/π).

No hace falta recordar muchísimas matemáticas para darse cuenta de que eso se puede invertir, y escribirlo de esta otra manera:

π = 2 (d/D) (N/n)

y resulta que en esta fórmula conocemos todos los términos. Usando que (d/D)=0,6713 obtenemos para las rayas horizontales (n=45, N=92) que π=2,745; mientras que para las rayas verticales (n=37, N=92) sale que π=3,338

Al calcular el promedio de ambos experimentos, que son independientes, sale π=3,013, una aproximación bastante razonable al valor real de π. No está mal, para un accidente doméstico!! O quizás también podemos pensar que el valor de π, en cierto lugar del norte de España, un día de mayo de 2013, era exactamente 3,013...



Voy a hacer un comentario, respecto a la precisión de la medida, para eliminar cualquier duda que le pueda quedar a alguien con la última frase anterior. Éste es un poquitín para nota, pero oye, no me voy a privar, que esto lo lee gente muy inteligente (los tres o cuatro que lo leéis, lo sé, sois muy inteligentes... y no es porque seáis amigos míos, aunque también!).

Una estimación de la incertidumbre de la medida la podemos calcular teniendo en cuenta el número de sucesos que utilizamos. Si el número es muy alto, la precisión será mayor. Para el caso exacto que hemos calculado aquí, la fórmula de Buffon nos dice que esperaríamos 39 pajitas cayendo sobre las rayas. La estadística matemática nos dice que, evidentemente, si repetimos el experimento muchas veces, obtendremos valores cercanos a 39 (pocas veces obtendremos exactamente 39!) con una cierta dispersión. 

Otro señor francés, Siméon Denis Poisson, nos dio una aproximación para calcular esa dispersión alrededor del valor medio. Usándola podemos estimar que aproximadamente 2/3 de los experimentos darán valores entre 33 y 45, y el 95% de las veces nos saldrán valores entre 27 y 51. 

Un cálculo un poco más preciso, utilizando la llamada distribución binomial, nos dice que en 2/3 de los casos los valores estarían entre 34 y 44, y el 95% entre 30 y 48, un intervalo un poquito más ajustado que el anterior. 

Teniendo en cuenta todos esos números y que hemos hecho dos experimentos a la vez, el caso es que podríamos esperar un rango de valores para nuestro cálculo de π de aproximadamente 2,7—3,6, con lo que podemos decir que hemos tenido incluso suerte...

Y si alguien se queda con ganas de repetir el experimento, sin tener que agacharse a recoger las pajitas del suelo (y plantearse si tirarlas a la basura o disimular y volver a guardarlas...), puede hacerlo de modo cómodo y económico, por ejemplo, aquí. Felices experimentos!! 




Epílogo histórico...

Y ahora que lo pienso, sin demasiado afán de presumir... bueno, quizás un poco... quiero señalar que Simeon Denis Poisson leyó su tesis doctoral en 1800, realizada bajo la dirección de Pierre Simon Laplace y Joseph Louis Lagrange.  Dirigió la tesis de Michel Chasles, leída en 1814. Éste dirigió la tesis de Gaston Darboux, leída en 1866, y éste a su vez la de Édouard Goursat, presentada en 1881. Goursat actuó como director de Georges Darmois, que en 1921 leyó su tesis y en 1939 dirigió la de André Lichnerowitz. En 1969 Ramon Lapiedra presentó su trabajo doctoral bajo la dirección de Lichnerowitz, y en 1985 dirigió a su vez la de Xavier Barcons... que tuvo la amabilidad de guiar mi propia tesis doctoral, presentada en 1996. Ocho generaciones y casi 200 años después, no creo que el retatarabuelo Simeon pudiera esperarse nada de esto...

Comentarios

Elena ha dicho que…
Veamos... He aprendido lo siguiente:

- Había un tal Buffon que tenía agujas y era conde (ATS de la nobleza, faquir de sangre azul ¿?), y otro apellidado Poisson que no sé si comía pescado o veneno. Me suena más el tal Barcons... jeje

- Los astrónomos sois buenos observadores... pero de lo lejano. Lo digo porque no has tenido en cuenta el factor "suciedad del suelo de la cocina".

- Los físicos con espíritu matemático sois muy listos pero poco conocedores de las tiendas Ikea, porque si lo fuerais sabrías que la pajita no es lisa, tiene codo (otro factor a tener en cuenta, supongo).

- Los hombres no conocéis a las mujeres... Pa rato Elena se va a preocupar de contar unas pajitas que se pueden recoger a puñados en vez de una a una. Que no estamos para perder el tiempo!

- Y por último, los buenos divulgadores sabéis contar ciencia con gracia, salero y un toque cotidiano que llega al lector... pero no tenéis ni idea de resumir.

Después de todo esto, te invito cuando quieras a un cola-cao para beber con pajita... si te atreves, jajajaja
Alberto ha dicho que…

Buenoooooo!! Sólo contestaré a lo verdaderamente importante... :)

Lo de "resumir" evidentemente ni lo consideré... Elena en su cocina hace lo que quiere, incluído recoger pajitas a puñados, y yo en mi blog también! Otra cosa es que alguien venga con "300 palabras y punto!" y ahí ya se hace encaje de bolillos... Si por culpa de eso el número de lectores baja en picado, de 4 a 3 o así, qué le vamos a hacer!

Las pajitas con codo... eso es un detalle sin importancia. Una finura... podíamos hasta asumir que las pajitas son esféricas.

Y el Cola Cao te tomo la palabra, me atreveré!

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